关于函数的定义域，看完这篇不再搞错了

wy168 发表于 2023-5-4 12:41:50

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 <img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/1c6100002721feac53a0~noop.image?_iz=58558&from=article.pc_detail&x-expires=1679805207&x-signature=fLuWg5GLQgNfHuW20kwYyfjQnDQ%3D" style="width: 100%; margin-bottom: 20px;">
 函数解题里有一句话叫“定义域优先”，因为不注意定义域的话，从根本上就是有问题的。
 高中数学中我们说的定义域一般由两种途径确定：
 一种是自然定义域，就是使函数解析式有意义时，自变量自然要满足的取值范围。
 有一类题考查“定义域为R”，其实就是说任意实数都能使得解析式有意义，常见如根式内二次函数开口向上且与x轴无公共点，恒为非负的情形。
 一种是题目里自行限定的定义域（当然得是自然定义域的子集）。
 关于函数定义域有以下几类容易出错的问题。

 <h1 style="text-align: left; margin-bottom: 10px;">1.函数自变量发生代换时，定义域的转化</h1>
 例1. 已知f(x+2)的定义域是（-5，3），求f(2x+1)的定义域。
 定义域都是指自变量（这里用x表示）的取值范围，这是没有疑义的。但学生容易迷惑的地方在于，前后的对应关系是怎样的？
 有一个简单的处理方式：代换前后，f()括号里的取值范围保持不变。
 在例1中，就是x属于（-5，3）可求出前一个括号里的x+2属于（-3，5），那么令后一个括号里的2x+1属于（-3，5），可解得x属于（-2，2），即所求定义域。
 原理是，在我们做换元的时候，置换的两个元的取值范围是对应相同的。
 <h1 style="text-align: left; margin-bottom: 10px;">2.注意定义域可能在代换的过程中被“抹去”了</h1>
 例2．已知(x+2)^2 + (y^2)/4 = 1，求x^2 + y^2的取值范围
 这道题很容易利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足的约束关系而造成定义域范围的扩大。
 消元时可以用x^2表示y^2代入，即 y^2 = 4 - 4(x+2)^2. 这里y^2自然是非负的，也就约束x有相应的范围。在把 4 - 4(x+2)^2 代入 x^2 + y^2 后得到关于x的函数中，这一定义域并不会自然呈现，因为 4 - 4(x+2)^2 并不自然具有非负的约束。
 再比如函数化简的过程中也存在类似问题。一个经典的例子：函数y = x^2/x = x，化简后不能丢掉x不为0的限制。
 要注意的就是，题目里隐性的约束条件在换元后可能需要主动挖掘出来。
 <h1 style="text-align: left; margin-bottom: 10px;">3.判断奇偶性时，不止关心定义域是否关于原点对称，还得善用定义域帮助化简函数</h1>
 例3. (9-x^2)^(1/2) / (|x-4|+|x+3|)
 这里如果不注意到利用定义域 [-3,3] 可以去掉分母的两个绝对值，就难以化简函数形式发现奇偶性。
 此外函数的单调区间必须是定义域的子集
 就不需要再强调了吧。

 再如用不等式求解最值时考虑“ = ”取到的条件是否在定义域内。
 数列作为函数处理时别忘记定义域是正整数集或其子集，一系列离散的值。
 说来说去，还是“定义域优先”那句话，函数的一切问题在定义域内考虑。
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