数学基本知识：一元函数的微分

wy168 发表于 2023-5-4 12:52:18

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 对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限
 g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x
 上式中的x0暂视为一个常数。
 将上式改写为：
 g(x,x0) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x
 其中g(x,x0)表示此函数含有参数x0（暂视为常数）。
 显然，如果F(x)在x=x0点上连续，则g(x,x0)在x=0这个点上是个待定型0/0。若g(x,x0)的x=0点是个可去间断点（即其在此点上的左右极限存在且相等），通过重新定义g(0,x0)使其等于g(x,x0)在此点上的极限，则可得到唯一的值
 g(0,x0) = lim g(x,x0)
 现在，换一种形式表示上式
 f(x) = g(0,x) = lim[∆x→0] g(∆x,x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]
 其中，将原x换成∆x（表示x的一个小的差分量），将x0换成x（视原x0为变量且用x代之）。即
 f(x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]
 这就是通常所用的导函数定义形式。记为
 f(x) = d/dx F(x)（或dF(x)/dx、F(x)）
 如前所述，这是个一元实函数集上的映射。
 如果将导函数的定义写成如下形式
 f(x) = lim [(F(x) - F(x)) / (x - x)]
 则可以看出导函数f(x)其实就是与函数F(x)交点为(x,F(x))和(x,F(x))的割线之斜率在x→x时的极限，即过点(x,F(x))的切线斜率。这就是导函数的几何意义。
 我们已经知道，导函数可表示成f(x) = dF(x)/dx。其中dF(x)/dx原本只是个“符号”，是映射d/dx F(x)的另一种表示。如果考虑函数F(x)过点(x,F(x))的切线上的点，其切线上任意两点的差分商∆y/∆x都等于f(x)，换种写法为
 ∆y = f(x)∆x （= F(x)∆x）
 令差分无限小，且用dy和dx代之，便有
 dy = f(x)dx （= F(x)dx）
 这就是所谓的微分形式（简称微分）。现在分析一下函数F(x)的差分和相应切线差分（或微分）的误差，即
 ∆F(x) - F(x)∆x = F(x+∆x) - F(x) - F(x)∆x
 除∆x得
 (∆F(x) - F(x)∆x)/∆x = (F(x+∆x) - F(x))/∆x - F(x)
 若F(x)存在导函数（或可导），取极限得下式
 lim[∆x→0] [(∆F(x) - F(x)∆x)/∆x] = 0
 即(∆F(x) - F(x)∆x)是较之∆x的高阶无穷小量，表示为
 ∆F(x) - F(x)∆x = o(∆x)
 或 ∆F(x) = F(x)∆x + o(∆x)
 数学上称此为可微，直接表示成
 dF(x) = F(x)dx
 明显可知，一个函数可微的充分必要条件是可导。
 由单侧极限可定义相应的单侧导数，在此不作详述。
 高阶微分（导数）是微分的微分（导函数的导数），具体内容在此略。
 下面分几方面说明微分或导数的相关性质
 一）导数的运算法则
 1）导数算子的线性特性
 d/dx (a f(x) + b g(x)) = a d/dx f(x) + b d/dx g(x)
 2）乘法运算法则
 d/dx (f(x)g(x)) = g(x) d/dx f(x) + f(x) d/dx g(x)
 3）除法运算法则
 d/dx (f(x)/g(x)) = (g(x) d/dx f(x) - f(x) d/dx g(x))/g(x)^2
 4）反函数运算法则
 如果函数f(x)存在导函数d/dx f(x)且存在可导的反函数，则其反函数的导函数是
 d/dx f⁻¹(x) = 1/(d/dy f(y))
 其中，x=f(y)。
 显然，反函数的导数与原函数之导数呈倒数关系，这容易从“符号”关系dx/dy = 1/(dy/dx)中看到。
 5）复合函数运算法则
 如果函数f(x)和g(u)存在导函数，则其复合函数g(f(x))的导函数是
 d/dx g(f(x)) = d/du g(u) d/dx f(x)
 这叫复合函数的导数链乘法则，这也容易从“符号”关系dy/dx = (dy/du)(du/dx)中看到。
 由上述五个运算法则可知，初等函数的导函数在其自然定义域内存在且可解析求解。
 二）微分中值定理（简单罗列）
 1）费马引理
 2）罗尔定理
 3）拉格朗日中值定理
 4）柯西中值定理
 三）罗必塔法则
 针对待定型（0/0）的极限求解，有如下罗必塔法则
 设f(x)和g(x)在点x0上都是无穷小量且可导，若g(x)的导函数在x0点的某领域内非零且f(x)/g(x)连续，则有
 lim = lim = f(x0)/g(x0)
 四）泰勒级数（展开）
 泰勒级数是个(x-x0)的多项式，形式为
 ∑ ak (x-x0)^k
 其特点是在x=x0点上泰勒级数的k≤n阶导数和与之相应的函数f(x)的k阶导数相等。显然
 a）0次泰勒级数展开
 f(x0)
 与函数f(x)在x=x0点上有相同的函数值。
 b）1次泰勒级数展开
 f(x0) + f(x0)(x-x0)
 在前基础上，与函数f(x)在x=x0点上有相同的一阶导数，即斜率相同。
 c）2次泰勒级数展开
 f(x0) + f(x0)(x-x0) + (f(x0)/2)(x-x0)^2
 同样在前基础上，还与函数f(x)在x=x0点上有相同的二阶导数，即曲率相同。
 ....等等。
 泰勒展开是分析和近似计算的有力工具，具体相关内容在此略。
 最后列出几个基本初等函数的导函数
 1）f(x) = x^μ
 d/dx f(x) = μx^(μ-1)
 2）f(x) = e^x
 d/dx f(x) = e^x
 3）f(x) = sin(x)
 d/dx f(x) = cos(x)
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