一轮复习：天体椭圆轨道的应用

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近几年高考题出现天体椭圆轨道运动的题型，在高中阶段并未有专门椭圆轨道方面的讲解，只在开普勒第三定律中提过椭圆轨道，因此若在高考题出现椭圆轨道，往往要用到开普勒定律。

开普勒第三定律：

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绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。

即：a³/T²=k=GM/4π²

（证明略）

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k值取决于中心天体的质量，只要中心天体一样，k值是相等的。

a为椭圆的半长轴，如果是圆轨道，a为圆的半径。

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椭圆轨道【总结】

1.若轨道为椭圆，中心天体位于椭圆的焦点上，而不是中心上；

2.由面积定律得近日点速度大于远日点速度,且r₁v₁=r₂v₂；

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3.圆和椭圆轨道卫星机械能都守恒；

4.卫星变轨问题，从低轨到高轨必须加速，从高轨到高低轨必须减速；

5.计算椭圆轨道周期，用开普勒第三定律；

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6椭圆轨道的中心天体质量计算用开普勒第三定律。

例题：2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×10⁵s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×10⁵m。已知火星半径约为3.4×10⁶m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s²，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（）。

A:6×10⁵m

B:6×10⁶m

/ Z# h. s4 \& R

C:6×10⁷m

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D:6×10⁸m

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【解析】

( Z% N; ~, E7 {0 X; l" c

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☞应用a³/T²=k=GM/4π²比较简单。

例题：科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。

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科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（）

A.4×10⁴M

B.4×10⁶M

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C.4×10⁸M

4 m) N: r# k+ V

D.4×10¹⁰M

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☞应用a³/T²=k=GM/4π²比较简单。

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例题：如图，

0 V" R6 P3 ?1 k; _

地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，P为近日点，到太阳的距离为R₁，Q点为远日点，到太阳的距离为R₂，公转周期为T，月亮围绕地球做圆周运动，半径为r，公转周期为t.则（B）

9 X5 R+ R' a" v! V

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【卫星变轨】

卫星在轨期间自主改变运行轨道的过程称为变轨。卫星轨道是椭圆的，节省发射火箭燃料的方法，可以先发射到大椭圆轨道，卫星处于远地点的时候，卫星上面的姿态调整火箭点火，这样卫星的轨道变成需要的高度。变轨可以多次，这就需要精确计算卫星变轨的时间，由地面指令控制。

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例题：如图所示，

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是“天宫二号”空间实验室轨道控制时在近地点高度（Q点）200千米、远地点高度（P点）394千米的椭圆轨道运行，已知地球半径取6400km，M、N为短轴与椭圆轨道的交点，对于“天宫二号”空间实验室在椭圆轨道上的运行，下列说法正确的是（D）

' L& u8 c% i; Y- h8 s8 q

A.“天宫二号”空间实验室在P点时的加速度一定比Q点小，速度可能比Q点大

0 m+ |( F, i6 T/ _7 i5 l: I

B.“天宫二号”空间实验室从N点经P点运动到M点的时间可能小于“天宫二号”空间实验室从M点经Q点运动到N点的时间

9 c, M6 R( P& d

C.“天宫二号”空间实验室在远地点（P点）所受地球的万有引力大约是在近地点（Q点）的1/4

D.“天宫二号”空间实验室从P点经M点运动到Q点的过程中万有引力做正功，从Q点经N点运动到P点的过程中要克服万有引力做功

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