从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变

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作者 | 刘洋洲来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！ 2 _* o# m [ [, |; p6 c9 X

序

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多项式函数的函数图像相信大家都有所了解：一次函数是直线，二次函数是抛物线……然而这都是在实数域上的讨论。本文尝试可视化多项式在复平面上的作用，从而给出代数基本定理更为直观的理解，让我们一起领略复数世界的奇妙现象。 8 V, N/ R0 j. [$ \: p! k4 Y1 n

复数ABC

关于复数的知识我在前面的文章有过论述（从复数到分形——Julia集、Mandelbort集简介，点击链接查看文章），具体细节可以参考此文。下面我们简要叙述一下关于复数的基本知识。复数是2维的数，其全体构成是复平面，这是认识复数最方便的几何对象。我们中学接触的实数域上的连续函数，都可以在坐标系下画出曲线；然而，以复数作为变量的函数——复变函数，在复平面上是无法画出曲线的，因为复变函数本质上是复平面到自身的变换。复数的加法（）是平移变换，乘法（）是旋转和伸缩变换。欧拉公式（）十分直白地体现了复数乘法的特性：即模长相乘，辐角相加。

幂函数

对于函数，用欧拉公式去表示，其几何意义很显然：将模长变成原来的n次方，辐角扩大为n倍。上图这是平方函数对于复平面的作用，我们看到原来的正交的网格变成了彼此正交的抛物线（即所谓的共形变换），请读者自行证明。

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这个变换直观上看就好像是将复平面沿负实半轴剪开，然后绕着原点环抱，形成双层结构（如下图）。双层结构对于平方根函数，即平方函数的反函数有重要的意义，它形象生动地解释了为什么平方根有两个，即因为它们位于不同的层——分支。这样一来，平方根函数（其实不是严格意义上的函数，准确地来说是多值函数）变成一个真正的（单值）函数了。数学家将这一思想推广，这样的曲面被称为黎曼曲面。这些曲面在三维空间表示不可避免产生自交，但这并不影响我们的判断。

当我们围绕支点（上图原点）正向旋转，当我们处于这样的空间：原地旋转6圈才能回到起点，这听起来就像是科幻小说。

多项式函数

为了看清多项式函数对于复平面的作用，我们不妨以代数基本定理的视角观察，即把多项式函数分解为一次因式的乘积：允许，即重根的情况。这样一来，多项式函数可以视为对复平面逐次进行乘积变换。为方便讨论，我们不妨令多项式函数的首项系数.设. 表示恒等映射，即当时，复平面沿着方向平移了个单位；当时，如下图，设和是多项式的两个零点，即和，是复平面上其他任意一点. 两个橙色向量恰好就代表着复数.这两个复数相乘，其模长即是两复数模长乘积，关键在辐角：两辐角之和.这有什么奇怪呢？确实，这就是我们在前文铺垫的复数乘积的几何意义，没什么特别的。但是，如果我们让上图点沿着包围和的绿色大圆转一圈，你会发现，的辐角增加了——两圈！这相当于绕着两个零点各转了一圈。如果我们只是在某个点周围转圈如下图，情况则会稍加不同：当绕着正向旋转一周时，复数的辐角始终在一个很小的范围变化，即，辐角对并没有贡献。

特别地，让两点逐渐重合，函数就退化为重根的情形：

这与我们讨论过的平方函数是一回事。

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让我们回到非重根的情形。多项式的像在每个根局部，和复平面上一点局部类似，此时绕着某个根旋转，和绕一次函数的效果是一样的，辐角的增加都是；然而当闭曲线充分远离全体根，的拓扑特性开始显现，从而实现原像复平面转1周，像上就会转周，同理可得，对于而言会转周。

我们发现辐角增加的圈数与根的个数一一对应，而这恰恰是复变函数中对于辐角定理的洞见：<<< 左右滑动见更多 >>>我们忽略方框中的积分，只看左右两侧的表达式：表示函数沿着曲线转动所增加的辐角，其中与分别表示 在的内部的零点和极点的个数，而我们考虑的是多项式函数，不存在极点，即，所以对于多项式函数的辐角定理：即辐角的增加与零点数一致。而辐角定理恰恰蕴含代数基本定理：一元次代数方程在复数域有个根。所以我们只要证明：任意一元次多项式，沿半径充分大的圆的辐角增量一定是，于是一定有个零点。而根据儒歇定理（Rouches theorem），多项式函数的辐角变化，当圆充分大时，只取决于最高次幂（其他较低次幂的项与之相比微不足道），而幂函数的辐角增量和次数相关，从而一举完成了代数基本定理的证明。需要注意的是，本文并不是要去证明代数基本定理，否则有循环证明之嫌：因为我们画的各种曲面，本就是基于多项式的分解。不过，相信这样的分析不是徒劳的。

跋

数学易于知，却难于感。感，就是具备人类可以接受信息的形式；知，就是通过逻辑推理得到正确结果的过程——一个是感性，一个是理性。艺术是可感而难知，如何让数学像艺术一样让可感亦可知，令人驻足欣赏，不是一件容易的事情。这也是我学习数学的动力和写作的初衷。

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